# 일차 방정식과 그래프 ## 목차 1. 일차 방정식의 정의. 2. 좌표 평면이란? 3. 일차 방정식의 그래프 표현 4. 일차 방정식의 해 5. 그래프와 기울기 ## 1. 일차 방정식이란? 일차 방정식이란, 좌표 평면상에 직선으로 나타낼 수 있는 등식이다. ## 2. 좌표 평면이란? 좌표 평면이란, 서로 수직하는 두 개의 축으로 이루어진 그래프이다.  ## 3. 일차 방정식의 그래프 표현 아래의 두 일차 방정식을 좌표 평면 그래프로 표현해보자. $$ y = 2x - 1 \\\ y = x + 1 $$ 먼저, x의 값이 0, 1, 2 일때, y의 값을 나타내보자. | 일차 방정식 | x = 0 | x = 1 | x = 2 | |:-------:|:------:|:------:|:-----:| | y = 2x - 1 | -1 | 1 | 3 | | y = x + 1 | 1 | 2 | 3 | 이를 그래프에 표시하고 직선으로 연결하면 아래와 같다.  ## 4. 일차 방정식의 해 일차 방정식을 만족하는 값을 `해`(solution)이라고 한다. 아래 식에 x = 1을 대입하면, y = 2가 된다. 따라서 (1, 2)는 위 식의 해(solution)이다. $$ y = x + 1 $$ 이를 그래프와 연관지어 설명해보자. 일차 방정식의 해는 일차 방정식이 나타내는 직선상에 존재한다.  위 그래프의 빨간 직선이 \\(y = x + 1\\)의 그래프이다. 해당 직선은 점 \\(P(1, 2)\\)를 지나므로, P는 올바른 해이다. ## 5. 그래프와 기울기 일차 방정식의 그래프는 기울기와 한점을 알면 그릴 수 있다. 기울기가 `a`이고 \\((0, b)\\) 를 지나는 일차 방정식은 아래와 같다. $$ y = ax + b $$ ### 5.1 기울기란? 여기서 기울기(slope)란, 그래프화 된 일차 방정식의 `y의 증가량 / x의 증가량`이다. $$ slope = \frac{\delta y}{\delta x} $$ ### 5.2 기울기와 한 점의 좌표로 그래프 그리기 기울기가 2이고 (1, 0)을 지나는 일차방정식은 아래와 같고, $$ y = 2x + b $$ 위 식에 x = 1, y = 0을 각각 대입하여 b를 알아낼 수 있다. $$ 0 = 2(1) + b \\\ \therefore b = -2 $$ 결과적으로 최종적인 일차 방정식은 \\(y = 2x - 2\\)가 되고 이를 그래프로 표현하면 아래와 같다.  ### 5.3 두 점의 좌표로 그래프 그리기 두 점 A(-4, 3)와 B(1, -1)을 지나는 그래프를 그려보자. 두 점을 찍고 직선을 그리면 된다.  위 그래프를 식으로 만드려면 어떻게 해야할까? 먼저 기울기를 구하여 일반 식을 만든다. $$ \begin{align} \frac{\delta y}{\delta x} &= \frac{-1 - 3}{1 - (-4)} \\\ &= \frac{-4}{5} \\\ \\\ \therefore y &= -\frac{4}{5}x + b \tag{1} \\\ \end{align} $$ 다음으로 식 (1)에 점 A(1, -1)을 대입하면, 최종 방정식을 구할 수 있다. $$ \begin{align} -1 &= -\frac{4}{5}(1) + b \\\ -1 &= -\frac{4}{5} + b \\\ b &= -\frac{1}{5} \\\ \\\ \therefore y &= -\frac{4}{5}x - \frac{1}{5} \tag{2} \\\ \end{align} $$ 식 (2)를 일차 부등식의 일반형태(\\(Ax + By = C\\))로 만들면 아래와 같다. $$ \begin{align} y &= -\frac{4}{5}x - \frac{1}{5} \tag{2} \\\ 5y &= -4x - 1 \\\ \\\ \therefore 4x + 5y &= -1 \tag{3} \end{align} $$